2-1. What is Alpha
2. The Fundamentals of QEPM
QEPM $\alpha$
$\alpha$의 가장 간단하고 통용되는(colloquial) 의미는 outperformance이다. Portfolio manager(PM)가 “Positive $\alpha$를 만들거야!”라고 보통 말하는데, 일반적으로 $\alpha$는 portfolio의 수익률이 reference instrument의 수익으로부터 초과된 정도를 의미한다. 이때 reference intrument는 기준이 되는 증권이라고 표현할 수 있다. Reference instrument로써는 PM이 활용하고 있는 benchmark, 효율적인 시장 전체를 함축, 경제에서 기저에 있는 위험 요인들을 모은 것이 될 수도 있다.
초과의 정도를 표현하는 방법에는 여럿 있겠지만, QEPM에서는 보통 risk-adjusted(위험 보정) 초과 수익률, 즉 reference instrument에 대한 portfoilo의 초과 수익률을 portfolio가 가지는 risk를 고려하여 보정한 것을 일컫는다. 그러므로 $\alpha$를 증가한다는 것은 reference instrument에 노출된 risk 늘리지 않고서 portfolio의 수익률을 증가하는 것을 말한다. 4 Portfolio의 수익률은 통계적 기법을 활용하여 두 가지로 분해할 수 있는데, 하나는 reference instrument와 관련된 것이고 다른 하나는 관련되어 있지 않는 것이다. 관련되어 있는 부분을 expected return 혹은 consensus return이라고 일컫는다. 관련되어 있지 않은 부분은 residual return 혹은 the return not explained by the model라고 부른다. 즉,
\[\text{Portfolio's return} = \text{expected return} + \text{residual return}.\]Benchmark $\alpha$
Reference instrument가 PM이 정한 benchmark일 때의 상황이다. Portfolio의 수익률 $r_p$, benchmark의 수익률 $r_B$이라고 하면, 우리는 다음 관계식을 추정할 수 있다:
\[r_p = \alpha + \beta r_B + \epsilon.\]이때, $\beta r_B$가 expected return(concensus return)에 해당하며, 여기서는 portfolio의 수익률 중에서 benchmark와 관련된 것을 의미한다. $\beta$는 portfolio가 benchmark에 노출된 위험의 정도라고 볼 수 있다. 나머지 항 $\alpha + \epsilon$은 residual return이다.
정량적 PM에게는 residual return이 결국 고려하는 그 모든 것이라 볼 수 있는데 그들의 목표는 $\alpha$를 늘리는 것, 즉 risk-adjusted return을 늘리는 것이기 때문이다. $\alpha$는 benchmark에 노출된 수익률를 제하고 남은 부분인 residual return의 기댓값이며, 그렇기에 이를 benchmark $\alpha$라고 부르며 $\alpha^B$라고 쓰기도 한다. $\epsilon$은 residual return의 deviation이라고 보면 되며, 기댓값은 0이다.
CAPM $\alpha$
Portfolio의 수익률 $r_p$와 시장 수익률 $r_M$에 대하여 우리는 다음의 관계식을 추정할 수 있다:
\[r_p = \alpha + \beta r_M +\epsilon.\]여기서 $\beta r_M$은 expected return(concensus return)에 해당하며, 시장과 관련된 porfoilo의 수익률에 해당한다. 나머지 $\alpha + \epsilon$은 residual return이다.
Benchmark 수익률을 고려했을 때와 식의 차이가 거의 없음을 알 수 있다. 실제로 시장 수익률은 대체로 S&P500의 수익률임을 고려했을 때, 만약 benchmark를 S&P500로 둔다면 이 두 관계식에서 도출된 두 $\alpha$는 서로 값이 같을 것이다.
Portfolio의 수익률을 시장 전체 수익률의 영향으로부터 분리하는 위의 관계식은 CAPM에 근간을 두기에 해당하는 $\alpha$를 CAPM $\alpha$라고 부르고 $\alpha^\text{CAPM}$이라고 쓴다. CAPM 이론에 의하면 시장은 항상 효율적으로 돌아가기 때문에 그 어떤 사람도 시장 수익률보다 초과하는 수익을 얻지 못하며, $\alpha^\text{CAPM} = 0$이라고 말한다. 하지만 현실에서 완벽한 효율적인 시장을 찾기란 쉽지 않으며, QEPM이 공략하는 것도 바로 그러한 부분이다. 그리하여 얻게 된 $\alpha^\text{CAPM}>0$은 risk-adjusted된 시장에 비한 초과 수익률이다.
Multifactor $\alpha$
Portfolio의 수익률 $r_p$와 여러 factor returns $f_1, \cdots, f_K$에 대하여 우리는 다음 관계식을 추정할 수 있다:
\[r_p = \alpha + \beta_1f_1 + \cdots + \beta_Kf_K +\epsilon.\]이때 $\beta_1f_1 + \cdots + \beta_Kf_K$는 주식 수익률을 설명하는 multifactor model로부터 도출되는 expected return(consensus return)이다. 즉, 이 항은 경제에서 기저에 있는 여러 위험 요인을 사전에 추출하여 이와 관련된 portfolio의 수익률을 따진 것이라고 볼 수 있다. 어떤 위험 요인이 어떤 방식으로 추출되는지 등 자세한 것은 추후에 다루지만, 이 관계식에서 도출되는 $\alpha$는 multifactor $\alpha$라고 부르며 $\alpha^\text{MF}$라고 표현한다.
Variety of $\alpha$’s
위에서 설명한 $\alpha$들은 서로 같은 것을 설명할 때가 있다. (1) Multifactor model에서 유일하게 고려한 factor가 시장 수익률이라면 $\alpha^{MF} = \alpha^{CAPM}$, (2) 시장 수익률에 해당하는 asset을 benchmark로 설정했다면 $\alpha^{CAPM}=\alpha^B$, (3) multifactor에서 유일하게 고려한 것이 시장 수익률인데, 이 또한 benchmark로 설정한 경우라면 $\alpha^B = \alpha^{MF}$가 된다.
그러나, 이 외에는 이들이 서로 같은 것을 의미하는 바가 없다고 보면 된다. 예컨대, PM이 활용하는 benchmark가 benchmark의 $\alpha$가 시장 수익률보다 작은 비효율적인 것이라고 하자. 그러면 PM이 구성한 portfoilo에 대하여 PM이 활용하는 benchmark를 기준으로 도출한 $\alpha^B$는 시장 수익률을 기준으로 도출한 $\alpha^{CAPM}$보다 값이 클 것이다. PM이 비효율적인 benchmark를 활용함으로써 전체 시장을 기준으로 도출했을 때의 $\alpha$보다 훨씬 잘 도출되므로 이를 이용하여 자신의 porfolio의 performance를 뻥튀기할 수도 있다.
한 가지 궁금해할만한 것은 $\alpha^B>0$라는 성질이 APT(arbitrage pricing theory)와 그 맥락을 함께하냐에 대한 것이다. 우선 대답은 그렇다,이다. 물론 APT에서 어떤 위험 요인을 고려해야 하는지에 대해서는 가정하지 않으므로 그 많은 variation에 비교가 어려울 순 있지만, 어떠한 경로로 주식 가격을 결정하는 요인 $f_1, \cdots, f_K$들을 명백하게 알게 되었다고 하자. APT에 기반하여 portfolio의 수익률이 결정된다고 가정하면, 이는
\[r_p = \alpha + \beta_1f_1 +\cdots +\beta_Kf_K +\epsilon\]으로 표현할 수 있을 것이다. 또 가정하기를, $f_1$은 benchmark에 해당하는 위험 요인이라고 하자. 이를테면 시장 수익률로도 자주 활용하는 S&P500의 위험 수익률이 있다. 만약 이외의 요인들, 즉 $f_2, \cdots, f_K$가 $f_1$와 전혀 상관관계가 없다면 이들은 모두 benchmark 수익률에 노출되어 있지 않은 다른 요인들이다. 그러므로 이들의 수익률은 모두 benchmark에 의한 expected return에 귀속하지 않는 residual return에 해당할 것이고, 그 기댓값은 $\alpha^B$이다. 즉,
\[\alpha^B = E[\alpha + \beta_2f_2+\cdots +\beta_Kf_K]\]Benchmark $\alpha$가 $f_1$ 이외의 요인들의 효과를 모두 껴안은 바 $\alpha^B >0$인 것이 거의 확실하다. 이 일련의 논리가 $f_2, \cdots, f_K$가 $f_1$가 상관관계가 있다고 한들 그렇게 변하지 않는다. $f_1$으로만 설명되지 않는 $f_2, \cdots, f_K$ 의 요인들이 $\alpha^B$로 편입되어 추가적인 수익률을 설명할 것이기 때문이다. 따라서 APT가 성립하여 $\alpha^{MF}=0$이 되는 있는 한이 있더라도 $\alpha^B>0$이 되는 상황을 충분히 만들어낼 수 있다. APT가 공통적인 위험 요소를 분석한다는 면에서 통계적인 기술을 활용하고, 이것이 결국 benchmark $\alpha$를 양수로 이끌어내는 효과가 있음에 주목하자. 이는 곧 시장의 불완전성을 통계적인 분석으로 차익거래를 도출해내어 PM의 수익률을 증진시켜주는 것이 QEPM이 수행하는 역할임을 보여준다.
Ex-Ante and Ex-Post $\alpha$
어느 유형의 $\alpha$를 활용하더라도, 그 $\alpha$가 미래에 도달할 값인지 아니면 이미 실현된 값인지에 따라 차이가 있다. Ex-ante $\alpha$는 기대하는 $\alpha$의 값에 해당하는 반면, ex-post $\alpha$는 이미 실현된 $\alpha$를 의미한다. 그러므로 PM은 portfolio를 구성할 때 ex-ante $\alpha$에 관심을 가져 이를 극대화하려고 한다. Portfolio를 구성하고 일정 시간이 흘렀다면 ex-post $\alpha$는 그 portfolio의 performance가 기대를 잘 실현했는지를 보여준다. 따라서 가장 좋은 것은 ex-post와 ex-ante $\alpha$들의 상관관계가 높은 것이다.
Ex-Ante and Ex-Post Information Ratio
초과 수익률을 나타내는 $\alpha$와 더불어, information ratio라는 또다른 대표적인 metric이 있다. $\alpha$와 마찬가지 정의로 ex-ante와 ex-post로 구분할 수 있다. Ex-ante information ratio(IR)은
\(\text{IR} = \frac{\alpha^B}{w}=\frac{\alpha^B}{s_{\epsilon}}\) 로 정의되며, $w$는 residual의 표준편차의 추정값 $w=\hat{\sigma}{\epsilon}=s{\epsilon}$이다. 이 수치는 benchmark를 넘어서는 수익률을 얻을 때, 단위 초과 위험률 당 얻는 초과 수익률을 의미한다. IR이 크면 클 수록 portfolio의 성능이 좋다고 평가할 수 있다.
The Seven Tenets of QEPM
PM은 두 가지 목표, $\alpha$ 극대화와 IR 극대화를 추구하게 된다. 이를 위해 정립된 QEPM은 다음 가정들을 따라야 한다. 이를 seven tenets of QEPM이라고 일컫는다.
- Markets are mostly efficient. 시장은 대부분 효율적이다.
- Pure arbitrage opportunities do not exist. 당연하게 주어지는 차익거래의 기회는 없다.
- Quantitative analysis creates statistical arbitrage opportunities. 정량적 분석가는 통계적 차익거래의 기회를 만들어낸다.
- Quantitative analysis combines all the available information in an efficient way. 정량적 분석가는 효율적인 방법으로 존재하는 정보를 모두 조합한다.
- Quantitative models should be based on sound economic theories. 정량적 모델들은 전체적으로 적용되는 경제적 이론을 기초로 하여야 한다.
- Quantitative models should reflect persistent and stable patterns. 정랼적 모델들은 (불규칙한 데이터를 반영하기보다) 지속적이고 안정적인 패턴들을 반영해야 한다.
- Deviations of a portfolio from the benchmark are justified only if the uncertainty is small enough. Benchmark로부터 오는 portfolio의 분산은 (portfolio의) 불확실성이 충분이 작을 때만 정당화된다.