Product Measure(곱측도)
이번 편에서는 conditional distribution을 수학적으로 더 구체적으로 정립하기 위해 먼저 기본적으로 알아야 할 수리적 개념을 소개하고자 한다. Conditional distribution은 어쨌든 두 random variable 간의 관계를 알아야하므로 두 $\sigma$-field를 엮어야 하며, 그 위에서 measure가 잘 정의되어야 한다. 따라서 우리는 conditional distribution을 정의하기 전 수학적으로 조금 더 정립할 것들이 있는데, Cartesian product를 취한 set에서 $\sigma$-algebra와 measure가 어떻게 확장되면 좋을 지에 대한 것들이다. 이렇게 하여 도입된 개념이 product $\sigma$-algebra와 product measure이다. 이번 편은 다소 technical하며, 더 구체적인 내용은 measure theory series에서 소개할 계획이다.
Product $\sigma$-algebras
두 measurable space $(X, \mathcal{A})$와 $(Y, \mathcal{B})$를 고려하자.이때 $A\in\mathcal{A}$, $B\in\mathcal{B}$가 각각 $X$와 $Y$의 measurable subset이라고 생각할 때, rectangle직사각형 $A\times B$는 $X\times Y$의 measurable subset이다. 이를테면, $\mathbb{R}$을 이용하여 Borel $\sigma$-field $\mathcal{B}(\mathbb{R})$을 만들어 measurable space $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$을 고려하자(앞으로는 이를 단순히 $\mathbb{R}$이 $\mathbb{R}$의 Borel $\sigma$-algebra와 equipped했다고 표현할 것이다). 그러면 $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$는 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$의 measurable rectangle이다. 이때 rectangle이라고 표현했다고 해서 여기서는 굳이 rectangle의 각 변이 깔끔한 interval를 의미하는 것은 아니었다. 여기서는 각 side가 충분히 임의의 measurable set(임의의 open set, closed set 등등..)가 될 수 있다.
Definition 13.1 $(X, \mathcal{A})$와 $(Y, \mathcal{B})$가 measurable space라고 하자. Product $\sigma$-algebra $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$는 모든 measurable rectangle $A\times B\ (A\in\mathcal{A}, B\in\mathcal{B})$을 포함하는 가장 작은 $X\times Y$ 위의 $\sigma$-algebra이다. 즉,
\[\mathcal{A}\otimes\mathcal{B} := \sigma(\{A\times B: A\in\mathcal{A}, B\in\mathcal{B}\})\]그러므로 우리는 두 space $(X, \mathcal{A})$와 $(Y, \mathcal{B})$의 product를 $(X\times Y, \mathcal{A}\otimes\mathcal{B})$로 정의할 수 있으며, 이 역시 measurable space이다.
집합 $E\subset X\times Y$를 하나 고려하자. 임의의 $x\in X$외 $y\in Y$에 대하여, 우리는 $E$의 $x$-section $E_x\subset Y$와 $y$-section $E^y \subset X$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[E_x =\{y\in Y: (x, y)\in E\}, \quad E^y = \{x\in X: (x, y)\in E\}\]즉, 일종의 단면이라고 생각하면 된다. Measurable set들의 section은 모두 measurable함이 알려져 있다.
Proposition 13.2 $(X, \mathcal{A})$와 $(Y, \mathcal{B})$가 measurable space이고 $E\in \mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$를 고려하자. 그러면 모든 $x\in X$에 대하여 $E_x\in\mathcal{B}$이고 모든 $y\in Y$에 대하여 $E^y\in\mathcal{A}$이다.
Proof: 다음을 정의하자.
\[\mathcal{M} = \{E\subset X\times Y: E_x\in\mathcal{B}\ \ \forall{x}\in X\ \text{and}\ E^y\in\mathcal{A}\ \ \forall y\in Y\}\]그러면 $\mathcal{M}$는 기본적으로 모든 measurable rectangle $A\times B,\ A\in\mathcal{A}, B\in\mathcal{B}$을 가지고 있는데, $A\times B$의 $x$-section은 $\emptyset$이거나 $B$이고, $y$-section은 $\emptyset$이거나 $A$이기 때문이다.
나아가, $\mathcal{M}$은 $\sigma$-algebra임을 알 수 있는데, $E, E_1, E_2, \cdots\in X\times Y$($E_i$는 disjoint)와 $x\in X$에 대하여
\[(E^c)_x = (E_x)^c, \quad \left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right)_x = \bigcup_{i=1}^\infty (E_i)_x\]가 성립하고 $y$-section에 대해서도 똑같이 성립하므로 $E^c\in \mathcal{M}$과 $\bigcup E_i\in\mathcal{M}$이기 때문이다.
위의 두 가지 성질은 결국 $\mathcal{M}\supset \mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$임을 알 수 있고, 모두 증명되었다.
이제 직관적인 예를 하나 들어보고자 한다. $\mathbb{R}^n$에서의 Borel $\sigma$-algebra를 어떻게 정립할 수 있을지 한 번 살펴보자.
Proposition 13.3 $\mathbb{R}^m$과 $\mathbb{R}^n$이 이들의 Borel $\sigma$-algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$과 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$과 equipped되어있다고 하자. 참고로 $\mathbb{R}^{m+n} = \mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$이다. 그러면
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\]가 성립한다.
Proof: 첫째로, 모든 $(m+n)$-dimensional rectangle은 모두 $m$-dimensional rectangle과 $n$-dimensional rectangle의 prodcut라고 볼 수 있다. 그러므로 모든 $(m+n)$-dimensional rectangle $\mathcal{R}(\mathbb{R}^{m+n})$에 대히여
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\supset \mathcal{R}(\mathbb{R}^{m+n})\]가 성립한다. 둘째로, rectangle를 이용하여 Borel $\sigma$-algebra를 만들어낼 수 있다는 점에서
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\supset\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})\]가 성립한다. 이제 반대쪽 subset 관계를 증명해보자. 다음을 정의한다.
\[\mathcal{M} = \{A\subset\mathbb{R}^m: A\times\mathbb{R}^n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})\}\]그러면 $\mathcal{M}$은 $\sigma$-algrebra인데, 그 이유는 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$이 $\sigma$-algebra라는 점에서
\[A^c\times \mathbb{R}^n = (A\times \mathbb{R}^n)^c, \quad \left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\times\mathbb{R}^n = \bigcup_{i=1}^\infty (A_i\times\mathbb{R}^n)\]이기 때문이다. 나아가 $\mathcal{M}$은 모든 open set을 포함하고 있는데, 그 이유는 $G$가 $\mathbb{R}^m$에서 open이면 $G\times\mathbb{R}^n$은 $\mathbb{R}^{m+n}$에서 open이기 떄문이다. Open set들로 Borel $\sigma$-algebra를 충분히 구성할 수 있기 때문에 $\mathcal{M}\supset \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$이다. 이는 다시 말하여, 모든 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$에 대하여 $A\times\mathbb{R}^n\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})$을 의미한다. 그러므로
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})\supset\{A\times\mathbb{R}^n: A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)\}\]이고, 비슷한 과정을 거치면
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})\supset \{\mathbb{R}^n\times B: B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}\]을 얻을 수 있다. $\sigma$-algebra는 intersection 연산 아래 닫혀있으므로
\[\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n}) \supset \{A\times B: A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^m), B\in\mathcal(\mathbb{R}^n)\}\]가 성립하고, 이는 결국 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m+n})\supset \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$임을 시사한다.
위의 결과에 의하여 $\mathbb{R}^n$ 위에서의 Brorel $\sigma$-algebra는 $\mathbb{R}$의 $\sigma$-algebra를 $n$개 쌓아올린 것과 같다. 이는 나중에 measure를 정의할 때도 $\mathbb{R}$ 위에서의 measure를 활용하여 product measure를 구할 수 있다. 이는 처음부터 $\mathbb{R}^{m+n}$ 위에서 직접 맨 땅에 product measure를 힘들게 정의하는 것보다 훨씬 좋다.
Premeasures
Premeasure라는 개념은 주로 outer measure나 measure를 정의할 때 유용하게 활용된다. Measure와 가장 크게 보이는 차이는 $\sigma$-algebra위에서 정의되는 것이 아니라 그냥 algebra(혹은 ring이라고 부르기도 함)정도에서도 정의된다. 그럼에도 measure의 주요한 성질이었던 countable additivity가 premeasure에 대해서도 성립한다. 먼저 algebra라는 대수적 구조를 정의해보자.
Definition 13.4 어떤 set $X$위의 algebra대수라고 하는 것은 $X$들의 subset의 collection인데, $\emptyset$과 $X$를 포함하고, complement, finite union, 그리고 finite intersection 아래 닫혀있는 구조이다.
Algebra와 $\sigma$-algebra와의 차이점은 바로 $\sigma$에 있다고 볼 수 있다. $\sigma$의 의미를 첫 번째 편에서 소개한 적이 있었는데(mathematical statistics - What is Probability? 편 참조), 여기서는 countable union이 아니고 유한한 상태에서의 union에 대해서만 닫혀있으면 된다.
만약 $\mathcal{F}\subset 2^X$가 $X$의 subset들의 collection일 때, $\mathcal{F}$로부터 생성되는 algebra는 $\mathcal{F}$를 포함하는 algebra 중에서 가장 작은 것이다. 이 말이 사실 무슨 말인가 싶지만 문득 $\mathcal{F}$로 생성한 $\sigma$-algebra(이것도 $\mathcal{F}$를 포함하는 일종의 algebra가 아니겠는가)와 비교하면 이해가 될 것이다. 그러면 $\mathcal{F}$를 이용하여 algebra를 어떻게 쉽게 생성할 수 있을까? 이는 algebra의 성질에 따라 $A, B\in\mathcal{F}$에 대하여 intersecton $A\cap B\in\mathcal{F}$와 complement $A^c\in\mathcal{F}$ 역시 $\mathcal{F}$에 속한 set들의 finite union으로 충분히 도출할 수 있으므로, $\mathcal{F}$안의 set들의 모든 finite union을 모으면 $\mathcal{F}$로 생성한 algebra를 만들 수 있다.
이제 premeasure를 정의할 준비가 완료되었다.
Definition 13.5 $\mathcal{E}$는 $X$ 위의 algebra라고 하자. $\mathcal{E}$위에서 premeasure $\lambda$는 다음을 만족하는 함수 $\lambda:\mathcal{E}\to [0, \infty]$이다.
\[\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{E}\]
- $\lambda(\emptyset) = 0$,
- 만약 $\{A_i\in\mathcal{E}: i\in\mathbb{N}\}$가 $\mathcal{E}$에 속하는 disjoint set들의 countable collection이고
이면,
\[\lambda\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \lambda(A_i)\]이다.
참고로 $\lambda$는 finitely additive한데, 만약 어떤 $N$에 대하여 $A_i = \emptyset,\ \forall i\ge N$으로 잡으면 countable additivity에서 성립한다. 또, monotone한 성질도 성립하는데, 만약 $A\supset B$이면,
\[\lambda(A) = \lambda(A\setminus B) + \lambda(B) \ge \lambda(B)\]이기 때문이다.
이제 premeasure와 연관되게 outer measure를 다시금 정의해보도록 하자. 우리는 algebra에서의 countable covering set, 즉 어떤 주어진 set를 algebra에 속하는 countable set의 union으로 덮은 것(이들을 cover덮개라고 표현한다),을 고려할 것이다. 그리고 cover를 이루는 각 set들이 algebra 위에 정의된 탓에 premeasure가 잘 정의된다는 점을 이용하여 주어진 set의 outer measure를 정의할 것이다.
Definition 13.6 $\mathcal{E}$는 set $X$ 위에서의 algebra라고 하고, premeasure $\lambda:\mathcal{E}\to [0, \infty]$가 그 위에 정의되었다고 하자. $\lambda$와 연계한 outer measure $\lambda^*: 2^X\to [0, \infty]$는 다음과 같이 정의된다.
\[\lambda^*(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^infty \lambda(A_i): E\subset\bigcup_{i=1}^\infty A_i\, \text{where}\, A_i\in\mathcal{E}\right\}, \quad E\subset X\]
이렇게 정의한 outer measure는 $2^X$ 위에서 모두 정의되지만, 특히 $\mathcal{E}$ 위에서는 premeasure와 같은 값을 준다는 것이 알려져 있다. 이에 대한 자세한 것은 measure theory 편을 참조하면 좋다. 아무쪼록, 우리가 여기서 가지는 의문은 $\mathcal{E}$ 위에서 정의된 premeasure가 $\sigma(\mathcal{E})$로 domain이 확장되었을 때 measure로 개념을 확장시킬 수 있냐는 것이다. 만약에 개념이 확장되었다고 한들, 동일한 premeasure로부터 여러 개의 measure로 확장할 수 있으면 다소 아쉬울 것 같다. 하지만, 만약 $\sigma(\mathcal{E})$가 그렇게 크지 않다면, premeasure에서 measure로의 확장은 유일함이 알려져 있다.
Definition 13.7 어떤 set $X$와 algebra $\mathcal{E}\subset 2^X$ 위의 premeasure $\lambda$에 대하여, $\lambda$가 $\sigma$-finite하다는 것은 $X =\bigcup_{i=1}^\infty A_i$인 모든 $A_1, A_2, \cdots\in\mathcal{E}$에 대하여 이면 $\lambda(A_i)<\infty$인 것이다.
Theorem 13.8 만약 $\lambda:\mathcal{E}\to[0, \infty]$가 $\mathcal{E}$ 위에서의 $\sigma$-finite한 premeasure이고, $\mathcal{A}$가 $\mathcal{E}$로부터 만들어진 $\sigma$-algebra라고 하자. 그러면 모든 $A\in\mathcal{E}$에 대하여 $\mu(A) = \lambda(A)$인 measure $\mu:\mathcal{A}\to[0, \infty]$가 유일하게 존재한다.
Product Measure
이제 product measure를 정의할 준비가 완료되었다. Measure의 정의를 가장 기본적으로 interval의 길이로부터 시작했다면, product measure의 기본적인 정의는 measurable rectangle의 각 side 길이의 곱으로 두어 점차 확장해나갈 것이다. 이를 하기 위해 premeasure를 기반으로 하여 measure space의 product 위에서 outer measure를 정의할 것이다.
$(X, \mathcal{A})$와 $(Y, \mathcal{B})$가 measurable space라고 하자. 여기에서 추출된 measurable rectangle들의 intersection은 다음과 같은 면에서 다시 measurable rectangle
\[(A\times B)\cap (C\times D) = (A\cap C)\times (B\cap D)\]이고, complement 역시 measurable rectangle의 finite union
\[(A\times B)^c = (A^c\times B)\cup (A\times B^c)\cup (A^c\times B^c)\]으로 볼 수 있다. 그러므로 $X\times Y$ 위에서의 measurable rectangle의 모든 finite union은 algebra를 구성함을 알 수 있다. 이를 $\mathcal{E}$라고 부를 것이다. 이렇게 정의된 $\mathcal{E}$은 일반적으론 $\sigma$-algebra는 아닐 것이다. 하지만 $\mathcal{E}$에서 $\sigma$-algebra를 만드나, 처음부터 measurable rectangle을 이용하여 $\sigma$-algebra를 구성하나 차이가 전혀 없을 것이다. 모든 set $E\in\mathcal{E}$는 measurable rectangle들의 finite disjoint union으로 표현될 수 있으며, 굳이 유일한 방법으로 분해되는 것은 아니다. $\mathcal{E}$ 위에서 premesure를 잘 정의하기 위해서는 먼저는 measurable rectangle 위에서 잘 정의할 필요가 있다.
Definition 13.9 Measure space $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$에 대하여, measurable rectangle $A\times B\subset X\times Y$의 product premeasure $\lambda(A\times B)$는 다음과 같이 정의된다.
\[\lambda(A\times B) = \mu(A)\nu(B)\]이때 $0\cdot\infty = 0$으로 계산한다.
Premeasure $\lambda$는 rectangle에 대해서는 countably additive함을 쉽게 보일 수 있다. 이를 보이는 가장 쉬운 방법은 rectangle에 대한 indicator function을 sequence로 잡은 후, 여기서 적분을 취해 monotone convergence theorem을 적용해보면 된다.
Proposition 13.10 만약 measurable rectangle $A\times B$가 measurable rectangles $\{A_i\times B_i: i\in\mathbb{N}\}$의 countable disjoint union일 때,
\[\lambda(A\times B) = \sum_{i=1}^\infty \lambda(A_i\times B_i)\]가 성립한다.
Proof: 주어진 조건에 따라
\[A\times B = \bigcup_{i=1}^\infty (A_i\times B_i)\]이고, 우변은 disjoint union이므로 indicator function $1_{A\times B}$은
\[1_{A\times B}(x, y) = \sum_{i=1}^\infty 1_{A_i}(x) 1_{B_i}(y)\]를 만족한다. 또, $1_{A\times B}(x, y) = 1_A (x) 1_B(y)$임에 따라
\[1_A (x) 1_B(y) = \sum_{i=1}^\infty 1_{A_i}(x) 1_{B_i}(y)\]가 성립한다. 이를 고정된 $x\in X$에 대하여 $Y$ 위에서 적분하고 monotone convergence를 활용하면
\[1_A(x) \nu(B) = \sum_{i=1}^\infty 1_{A_i}(x)\nu(B_i)\]를 얻는다. 이제 $x$에 대하여 다시 적분하면
\[\lambda(A\times B) = \sum_{i=1}^\infty \lambda(A_i\times B_i)\]를 최종적으로 얻게 된다.
$\lambda$가 rectangle에 대해서 finite additivity도 당연히 성립하므로 algebra인 $\mathcal{E}$위에서도 확장이 잘 될것이라고 생각할 수 있다. $\mathcal{E}$에 속하는 임의의 set은 finite한 disjoint rectangle의 union으로 표현될 수 있다는 점(그러한 union of disjoint rectangle이 유일하진 않을 순 있지만, 그 rectangle조차도 가장 기초적인 disjoint rectangle로 쪼갠다면 결국 동일한 표현일 것이다)에서 product premeasure는 $\mathcal{E}$위에서 다음과 같이 정의한다.
Definition 13.11 $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$가 measure space이고, $\mathcal{E}$가 measurable rectangle들에 의해 생성된 algebra라고 하자. Product premeasure $\lambda:\mathcal{E}\to[0, \infty]$는 다음과 같이 정의될 것이다.
\[\lambda(E) = \sum_{i=1}^N \mu(A_i)\nu(B_i), \quad E = \bigcup_{i=1}^N (A_i\times B_i)\]이때 $E = \bigcup_i (A_i\times B_i)$는 임의의 measurable rectangle의 disjoint union이다.
위에서 정의한 $\mathcal{E}$ 위의 premeasure $\lambda$는 사실 Proposition 13.10에서 논증한 것과 $\mathcal{E}$에 속하는 모든 집합이 기초적인 disjoint rectangle의 union으로 표현될 수 있다는 점에 입각하면 countably additive하다(물론 algebra는 countable union에 닫혀있지 않으므로 countable union한 집합 역시 $\mathcal{E}$ 안에 속한다는 가정도 있는 것이다). 이러한 성질을 이용하면 우리는 임의의 subset $E\subset X\times Y$에 대한 countable covering을 만들 수 있고, outer measure를 정의할 수 있게 된다.
Defintion 13.12 두 measure space $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$가 주어졌다고 하자. 그러면 $X\times Y$ 위에서의 product outer measure
\[(\mu\otimes\nu)^*: 2^{X\times Y}\to [0, \infty]\]는 다음과 같이 정의한다.
\[(\mu\otimes\nu)^*(E) := \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)\nu(B_i): E\subset \bigcup_{i=1}^\infty (A_i\times B_i)\ \text{where}\ A_i\in\mathcal{A},\,B_i\in\mathcal{B}\right\}\]그리고 product measure
\[(\mu\otimes \nu):\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}\to [0, \infty], \quad (\mu\otimes\nu) = (\mu\otimes\nu)^*\vert_{\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}}\]는 product outer measure를 product $\sigma$-algebra $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$로 domain를 제한시킨 함수이다.
Premeasure를 위해서 소개할 때 언급했던 것과 같이 모든 measurable rectamgle은 $(\mu\otimes\nu)^*$가 주는 값과 product premeasure가 주는 값이 동일하다. 위와 같이 정의한 product measure가 실질적으로 measure의 정의를 만족하는지 알아볼 필요가 있다. 이를 확인하는 과정에서 주로 Caratheodory theorem을 이용하곤 하는데, 이는 outer measure $\lambda^*$에 대하여 $A\subset X$가 Cratheodory measurable하다는 것은
\[\lambda^*(E)\ge \lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\cap A^c), \quad \forall E\subset X\]가 성립함을 시사한다. 이를 이용하여 우리가 1차원에서의 outer measure에서 Caratheodory measurable set인 것만 모으면 이는 $\sigma$-field가 되는 것은 물론, 그 위에서만 outer measure가 정의되도록 함수를 제한시키면 이것이 measure가 된다는 것이 알려져 있다. 이를 기반하여 다음을 보일 수 있다.
Theorem 13.13 두 measure space $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$가 주어졌다고 하자. 그러면,
\[(\mu\otimes \nu):\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}\to[0, \infty]\]는 $X\times Y$ 위에서의 measure이며, 다음을 만족한다.
\[(\mu\otimes \mathcal\nu)(A\times B) = \mu(A)\nu(B), \quad \forall A\in\mathcal{A}, \forall B\in\mathcal{B}\]나악, 만약 $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$가 $\sigma$-finite measure space라면, $(\mu\otimes \nu)$는 $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ 위에서 이런 성질을 가지는 유일한 measure가 된다.
여기서 약간은 유의해야 할 점은 outer measure $(\mu\otimes\nu)^*$를 기반하여 찾은 Caratheory measurable set들의 모임은 일반적으로 product $\sigma$-algebra $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$보다 약간 크다. 이에 관한 자세한 논의는 measure theory 편에 담도록 하겠다.
Measurable Functions
이렇게 product measure까지 모두 정의를 완료하였다. 이제부터는 이로부터 비롯되는 함수와 관련된 성질을 몇 개 더 살펴보려고 한다. 가장 먼저 궁금해지는 것은 이 measure에 입각한 measurable function이 product measure에 대하여 어떤 성질이 있을까다(안 궁금하면 시무룩…).
먼저 우리는 set뿐만아니라 함수에 대해서도 section을 정의할 수 있다. 만약 $f:X\times Y\to \mathbb{R}$이 $X\times Y$위에서 정의된 함수일 때, 각각의 $x\in X$에 대하여 $x$-section $f_x: Y\to \mathbb{R}$과 각각의 $y\in Y$에 대하여 $y$-section $f^y:Y\to\mathbb{R}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[f_x(y) = f(x, y), \quad f^y(x) = f(x, y)\]이제 각각의 section들은 모두 measurable하고, 심지어 이를 integral하여 index만 남은 함수도 모두 measurable함을 소개할 것이다.
Theorem 13.14 만약 $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$가 measurable space이고 $f:X\times Y\to\mathbb{R}$이 measurable function일 때, $f_x:Y\to\mathbb{R}$과 $f^y:X\to\mathbb{R}$은 모든 $x\in X$, $y\in Y$에 대하여 모두 measurable하다. 나아가, $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$가 $\sigma$-finite하다면, 다음과 같이 정의된 $g:X\to\mathbb{R}$과 $h:Y\to\mathbb{R}$ 모두 measurable하다.
\[g(x) = \int f_x\, d\nu, \quad h(y) = \int f^y\,d\mu\]
Fubini’s Theorem
Fubini’s theorem은 기초 calculus미적분을 할 때 자주 다루게 되는데, multivariable다변수 함수에서의 적분도 순서와 상관없이 각 element별로 따로 적분하여도 된다는 획기적이 내용을 담고 있다. 이 내용은 product measure에서도 적용된다.
Theorem 13.15 (Fubini) $(X, \mathcal{A}, \mu)$와 $(Y, \mathcal{B}, \nu)$가 $\sigma$-finite measure space라고 하자. Measurable function $f:X\times Y\to \mathbb{R}$가 integrable하다는 것은 다음 중 하나라도 finite한 값을 가지는 것과 equivalent하다.
\[\int\left(\int \vert f^y\vert\,d\mu\right)\,d\nu, \quad \int\left(\int\vert f_x\vert\,d\nu\right)\,d\mu\]이 경우에 $f$의 integral은 다음과 같이 계산될 수 있다.
\[\int f\,d(\mu\otimes\nu) = \int\left(\int f^y\,d\mu\right)\,d\nu = \int\left(f_x\,d\nu\right)\,d\mu\]
이제 얼추 conditional distribution을 정의하기 위한 수학적 정립이 끝났다. Measure에 익숙치 않은 상태로 보면 이번 편의 흐름을 잡기 매우 힘들 것이다. 달리 말해 적어도 measure를 outer measure를 통해 정의하는 과정을 따라가본 real analysis살해석학 공부 경험자를 위해 product measure도 이와 비슷한 방향성을 가지고 정의됨을 보여주는 글이다. 그만큼 너무 엄밀하게 작성하지도 않았지만, 관련한 내용을 처음 듣는 독자에겐 조금은 가혹할지 모르는 불친절한 글일지도 모르겠다. 아무쪼록, 이 모든 내용은 이해하지 않아도 conditional distribution을 정의하는 데 크게 가로막히는 것은 없다고 생각한다. 적어도 product measure가 각 element의 measure의 곱으로 결국 정의될 수 있다는 점과 Fubini’s theorem이 시사하는 바를 알게 되었다면 그것으로도 큰 도약이라 믿는다. 다음 편에서는 예상했다시피 conditional distribution을 수학적으로 정의해본다.