Utility Theory - Rewards and Utility(효용이론 - 보상과 효용)

이번 글에서는 왜 우리가 risk, 즉 loss의 expectation을 활용하여 performance가 더 좋은 estimator를 선정했는지를 조금 더 원초적인 관점에서 살펴볼 것이다. 우리가 진짜 원하는 estimator가 왜 하필 risk로 판별될 수 있었는지, risk에는 어떤 의미가 숨어있는지 알아보도록 한다. Estimator들 중에서 어떤 것이 더 선호된다는 것을 수학적으로 표현하기 위해 그 estimator를 선택했을 때의 rewards_보상을 나타내는 수치인 utility_효용를 정의할 것이다. 이후, utility function들이 정립되어가는 과정을 살펴보고 수학적으로 가지는 특징을 여럿 살펴보도록 한다. 이에 따라 risk도 하나의 utility function으로 역할을 할 수 있음을 보이고자 한다.

이 이야기는 총 두 편으로 나누어 연재한다. 첫 번째 편에서는 reward 개념의 도입 preference_선호도가 어떻게 정의되고 있는지, 또 우리가 관심있는 주제인 reward를 random하게 주는 probability distribution 간의 preference를 어떻게 생각하면 될지 소개한다. 두 번째 편에서는 이러한 preference를 수치적으로 나타내기 위해 도입한 utility function이 존재하기 위해 어떤 axiom들이 가정되어야 하고, 그 토대 위에서 utilty가 어떻게 정의될 수 있을지 원론적인 부분부터 차례차례 쌓아 올라간다.

Rewards, and its Preferences

보상으로 주어질 수 있는 값들의 집합 $R$과 그중 하나를 선택하여 보상 $r\in R$을 받는 상황을 고려해보자. 보상이라고 하면 다소 추상적인 개념이 될 수 있는데, 금전적 보상, 갖고 싶었던 선물, 콘서트 자리 위치 등 그 어떤 것이 될 수 있다. 보상들을 모아놓은 집합 $R$은 별다른 성질이 요구되진 않고, 그저 잘 정의된 집합이기만 하면 되는 것이다.

우리는 이러한 보상들 사이에서 preference_선호도를 정할 수 있다. 만약 보상이 10만원과 20만원 사이의 금전적인 것으로 주어져 $R$이라는 집합이 10만원부터 20만원 사이의 돈 액수가 되었다면, 아무래도 돈의 보상이 큰 쪽이 더 선호될 것이다. 즉, 우리는 집합 $R$ 위에서 항상 어떤 preference가 존재하여 각각의 보상마다 상대적인 선호도가 있음을 가정할 것이다. 만약이 $r$이 그냥 하나의 실수값이라면 값이 무조건 크면 더 선호되는 것이 당연하게 받아들여질 수 있다. 하지만 $r$이 vector인 경우를 고려해보자. $m$가지의 다른 유형의 보상이 주어진다면 $r$은 $m$차원 vector일 수 있고 $R\subset\mathbb{R}^m$이 된다. 두 개의 보상 $r_1, r_2\in R$를 고려해봤을 때, 만약 어떤 component에 대해서는 $r_1$이 더 선호되지만 나머지 component를 비교했을 때는 $r_2$가 더 선호된다면 $r_1$과 $r_2$ 자체를 두고서는 어떤 것이 더 선호되는지 말할 수 없게 된다. 한 가지 방법은 각 component마다 weighted sum_가중평균을 하여 비교해보는 방법이 있다.

아무튼 우리는 아무리 복잡한 상황이 주어져도 결국 $R$ 위에선 preference가 항상 있다고 가정할 것이다. 두 보상 $r_1, r_2\in R$에 대하여 preference의 수학적 표기법을 알아보자.

1. $r_1\prec r_2$는 $r_2$가 $r_1$보다 더 선호된다는 의미이고,
2. $r_1\sim r_2$는 $r_1$과 $r_2$가 동등하다는 것, 똑같이 선호된다는 의미이며,
3. $r_1\precsim r_2$는 $r_1\prec r_2$이거나 $r_1\sim r_2$라는 의미이다.

이러한 개개인의 보상에 대한 preference를 바탕으로 우리는 $R$에 속한 임의의 두 보상에 대해 order를 설정할 수 있게 되었다. 이렇게 preference를 기반하면 우리는 집합 $R$ 위에서 complete ordering을 정의할 수 있음을 가정할 것이다. 이는 위에서 정의한 relation $\precsim$에 대하여 다음 두 가지 성질이 $R$에 속한 임의의 element에 대하여 성립할 때를 이야기한다(더 구체적인 내용은 set theory에서 order에 대한 논의를 하면서 살펴볼 수 있다).

1. $\forall r_1, r_2\in R$에 대하여 다음 세 가지 중 반드시 하나만 성립해야 한다: $r_1\prec r_2$, $r_2\prec r_1$, $r_1\sim r_2$.
2. $\forall r_1, r_2, r_3\in R$에 대하여 $r_1\precsim r_2$이고 $r_2\precsim r_3$이면, $r_1\precsim r_3$가 성립한다.

그리고 마지막으로 $R$의 모든 원소의 preference가 동등하진 않다고 가정할 것이다. 즉, 어떤 두 개의 보상 $s_0, t_0\in R$에 대하여 $s_0\prec t_0$인 것이 존재한다.

Preferences Among Probability Distributions

통계학자는 preference에 따라 $R$에서 원하는 보상을 자유자재로 받을 수 없는 경우가 많다. 먼약 통계학자가 unknown parameter $\theta$의 정보를 얻기 위해 하나의 experiment 힌디고 하자. 그 experiment으로부터 나오는 결과는 randomness가 있는데, 이를 조금 풀어 다시 말하면 보통 가능한 모든 경우의 experiment 중에서 하나가 선택되어 도출된다고 말할 수 있고 원하는 experiment를 뽑을 순 없다. 그러므로 이를 통해 얻어지는 보상도 $R$ 위에서 정의된 probability distribution에 따라 random하게 주어지게 될 것이다. 통계학자가 할 수 있는 것은 결국 $R$ 위에서 정의된 probability distribution을 preference에 맞게 선택하는 것이다.

Probability measure를 정의했던 것을 떠올려보면 $R$ 위에서의 probability distribution을 고려하기 위해서는 $R$의 subset들로 이루어진 $\sigma$-algebra $\mathcal{A}$를 구성해야 한다. 그러면 우리는 $\mathcal{A}$에 속하는 보상들의 집합에 대한 probability만 고려하게 된다. 그리고 이 위에서 probability distribution $P$를 measurable space $(R, \mathcal{A})$ 위에서 정의할 수 있다.

이제 보상들의 집합 $R$, 이로부터 만들어진 $\sigma$-algerba $\mathcal{A}$, 그리고 $R$위에서 정의되는 모든 probability distribution $P$들의 class $\mathcal{P}$를 고려하자. 위의 논의에 따라 $R$ 위에서의 preference는 통계학자에겐 결국 $\mathcal{P}$ 위에서의 preference임을 알았다. 이 probability dstribution은 하나의 lottery_로또라고 생각하면 쉽다. 가령, probability distribution $P_1$에 따라 $R$에 속한 보상 중 하나를 주는 로또 하나와, probability distribution $P_2$에 따라 $R$에 속한 보상 중 하나를 주는 로또 하나를 고려해보자. 우리는 이 두 로또 중에서 비교하게 되는 것이고, 이러한 비교를 위해 $\mathcal{A}$에 속한 특정 event의 probability를 고려하게 된다.

Probability distribution 간 preference도 직접적인 reward에 대힌 preference와 사용하는 기호가 똑같다. 즉, $P_1, P_2\in\mathcal{P}$에 대하여

1. $P_1 \prec P_2$는 $P_2$가 $P_1$보다 더 선호된다는 것이고,
2. $P_1\sim P_2$는 $P_1$과 $P_2$가 동등하다는 것이고,
3. $P_1 \precsim P_2$는 $P_1\prec P_2$이거나 $P_1\sim P_2$라는 의미이다.

그리고 특정 보상 $r_0\in R$를 주는 것과, $r_0$의 보상을 1의 확률로 주는 probability distribution $P_0\in\mathcal{P}$를 얻는 것을 딱히 구분하지 않을 것이다. 그러므로 위에서 특정 보상 $r_1, r_2$에 대하여 정의한 $\precsim$은 바로 위에서 probability distribution에 대해서 정의한 $\precsim$과 잘 들어맞는다.

$\precsim$도 하나의 order를 나타내는 기호이고, $R$ 위에서는 complete order이기 때문에 interval을 잘 정의할 수 있다. $r_1, r_2\in R$이고 $r_1\precsim r_2$에 대하여 interval $[r_1, r_2]$는 $R$의 subset으로써 다음과 같이 정의한다.

\[[r_1, r_2] = \{r: r_1\precsim r\precsim r_2\}\]

이러한 interval들은 Borel set들로써 $\sigma$-algebra $\mathcal{A}$에 속한다고 가정해도 무리가 없다. 그렇기에 그 어느 probability distribution $P\in\mathcal{P}$에 대해서도 probability $P([r_1, r_2])$는 잘 정의된다.

Probability distribution $P\in\mathcal{P}$가 bounded되어있다는 것은 $P([r_1, r_2]) = 1$인 $r_1\precsim r_2$가 존재함을 의미한다. 즉, 어떤 특정 interval $[r_1, r_2]$에 모든 probability가 몰려있음을 시사한다.

이제 특정 보상에 대해서만 $R$에서 정의했던 complete ordering에 관한 이야기를 probability distribution에 대해서도 확장하며 이야기해보려 한다. $\mathcal{P}_B$를 $\mathcal{P}$에 속한 distribution 중 bounded되어 있는 것의 class일 때, 우리는 $\mathcal{P}_B$에 대하여 complete ordering을 정의할 수 있다. 이는 다음 두 성질을 만족함을 의미한다.

1. $\forall P_1, P_2\in\mathcal{P}_B$에 대하여 다음 중 오직 하나만이 성립한다: $P_1\prec P_2$, $P_2\prec P_1$, $P_1\sim P_2$.
2. $\forall P_1, P_2, P_3\in\mathcal{P}_B$가 $P_1\precsim P_2$, $P_2\precsim P_3$기 성립할 때, $P_1\precsim P_3$가 성립한다.

아직 $\mathcal{P}$에 속한 unbounded distribution에 대해서는 아무런 가정을 하지 않았음을 언급한다.

Utility Function

이제 utility function을 수학적으로 정의할 것이다. 임의의 distribution $P\in\mathcal{P}$와 $R$ 위에서 정의된 real-valued function $g$에 대하여, $E_P\, g$를 $R$ 위에서의 probability가 $P$처럼 형성되었을 때의 $g$의 expectation임을 의미한다. 즉,

\[E_P\, g = \int_R g(r)\, dP(r)\]

$R$ 위에서 정의된 real-valued function $U$가 utility_효용라고 불린다는 것은 $\forall P_1, P_2\in\mathcal{P}$에 대하여 $E_{P_1}U$와 $E_{P_2}U$가 존재할 때,

\[P_1\precsim P_2\quad \Longleftrightarrow \quad E_{P_1}U\le E_{P_2}U\]

가 성립할 때이다. 각각의 보상 $r\in R$에 대하여 $U(r)$는 $r$에서의 utility라고 표현한다. 여기서 보여주는 것은 어떤 distribution이 다른 distribution보다 선호된다는 것은 어떤 utility function에 대하여 첫 번째 distribution의 expected utility가 더 큰 값을 가짐을 의미한다. 이러한 관계가 성립하도록 적절한 utility를 설정해주어야 하지만, 이러한 utility function이 실제로 존재할지에 대해서는 아직까진 아무도 모르는 것이다.

임의의 distribution $P\in\mathcal{P}$에 대하여 $E_P U$가 존재한다면, 이를 $P$에 대한 utility라고 간단히 부르기도 한다. 즉, 어떤 distribution의 utility는 사실상 expected utility를 의미하며, 그 expectation은 해당 distribution 아래에서 계산된다. 이러한 이유로 utility function이 존재한다는 hypothesis_가설을 expected utility hypothesis라고 부른다.

이렇게 utility function을 정의하고 나면, 다음 몇 가지 성질이 따라온다.

• 임의의 두 보상 $r_1, r_\in R$에 대하여

  \[r_1\precsim r_2 \Longleftrightarrow U(r_1)\le U(r_2)\]

  이는 특정 보상을 probability 1로 주는 distribution을 생각하면 당연한 결과이다.

• 만약 utility function이 존재한다면, 우리는 bounded distribution에서뿐만 아니라 더 넓은 영역의 $\mathcal{P}$ 안에서의 distribution에 대해서 preference를 비교가능하다. 만약 $\mathcal{P}_E$를 $E_P U$가 존재하는 모든 $P\in\mathcal{P}$의 class하고 할 때, $\mathcal{P}_E$에 속한 임의의 두 distribution에 대해서도 비교가 가능하다. 그리고 이 $\mathcal{P}_E$는 $\mathcal{P}_B$를 포함한다. 그 이유를 알아보자. $P\in \mathcal{P}_B$를 하나 고려하자. 그러면 $r_1\precsim r_2$이고 $P([r_1, r_2]) = 1$인 $r_1, r_2\in R$이 존재한다. 방금 첫 번째 성질로 언급한 부분에 의하여 모든 $r\in[r_1, r_2]$에 대하여 $U(r_1)\le U(r)\le U(r_2)$이고, 이에 따라 $U(r_1)\le E_P U\le U(r_2)$가 성립한다. 따라서 $P\in\mathcal{P_E}$이고, $\mathcal{P}_B\subset\mathcal{P}_E$가 성립한다.

다음 lemma_보조정리는 만약 utility function이 존재한다면, linear transformation을 취한 함수도 utility가 됨을 보여준다.

Lemma 17.1 $U$가 $R$ 위에서의 utility function이라고 하자. 그러면 constants $a>0, b$에 대하여 함수 $V = aU + b$ 또한 utility이다.

Proof: 임의의 distribution $P\in\mathcal{P}$에 대하여 $E_P U$가 존재하는 것과 $E_P V$가 존재하는 것은 equivalent하다. $P_1, P_2$가 이 두 expectation이 존재하는 $\mathcal{P}$에서의 임의의 distribution이라고 하자. $U$가 utility라는 면에서

\[P_1\precsim P_2 \Longleftrightarrow E_{P_1}U\le E_{P_2}U\]

또한, $E_{P_i}V = E_{P_i}[aU+b] = aE_{P_i} U+b, \quad i=1, 2$이라는 점에서

\[P_1\precsim P_2 \Longleftrightarrow E_{P_1} V\le E_{P_2} V\]

도 성립한다. 따라서 $V$도 utility이다.

추후에 몇 가지 특정 조건을 만족하면 utility function이 존재함을 증명하게 될 것이다. utility가 존재한다면, 그 utility function을 위와 같이 increasing linear transform_{증가하는 선형 변환}(increasing이 붙은 이유는 $a>0$에 한정한 linear transformation이기 때문이고, 부등호 방향 떄문에 필요한 조건이다)으로 다시 utility로 만든 것은 모두 같은 utility function으로 보았을 때, 이는 unique하다.

Properties of Utility Functions

Utility function이 잘 정의될 수 있다고 일단 가정한 후, 여러가지 예시를 살펴보면서 utility function의 properties_성질들을 살펴보자.

Example 17.2 오로지 세 가지 서로 다른 특정 보상 $r_1, r_2, r_3$를 가지고 있는 집합 $R = \{r_1, r_2, r_3\}$을 고려하자. $R$ 위에서 정의되는 probability distribution class $\mathcal{P}$에 속하는 disribution은 세 개의 probability의 순서쌍 $(p_1, p_2, p_3)$로 나타낼 수 있으며, $p_i\ge 0$이고 $p_1+p_2+p_3 = 1$을 만족한다. 이때 $(p_1, p_2, p_3)\in\mathcal{P}$에 대하여 $p_i$는 보상 $r_i$을 받을 probability라고 볼 수 있다. 일반성을 잃지 않고, 적절히 순서를 바꾸어 $r_1\succ r_2 \succ r_3$로 두자. 그리고 $R$ 위에서 utility $U$가 존재한다고 가정하자.

Utility는 Lemma 17.1에 의하여 임의의 increasing linear transformation을 거쳐도 여전히 utility이다. 그러므로 일반성을 잃지 않고, 우리는 양끝단의 utility를 $U(r_1) = 1$, $U(r_3) = 0$으로 둘 수 있다. 그러면 $\mathcal{P}$ 위의 preference는 $U(r_2)$의 값으로 결정될 것이며, 이를 간단히 $u$라고 부르기로 하자. $u\in (0, 1)$이어야 하며, distribution $P_1 = (u, 0, 1-u)$가 $P_2 = (0, 1, 0)$하고 preference가 동일해야 한다(둘의 utility가 모두 $u$임을 확인하라).

나아가, 임의의 두 distribution $P = (p_1, p_2, p_3)$와 $Q = (q_1, q_2, q_3)$에 대하여

\[P\precsim Q \Longleftrightarrow E_P U-E_Q U = (p_1-q_1)-(p_2-q_2)u\le 0\]

가 성립한다. 이것이 보여주는 것은 $P$와 $Q$의 preference는 결국 $(p_1-q_1)$과 $(p_2-q_2)$의 차이에 의존한다는 것을 알 수 있다. 결국 첫 번째 component와 두 번째 component 차이가 동일하다면 두 distribution의 preference는 동일할 수밖에 없다. 그리고 이들의 정확한 preference는 $u$가 어떤 값으로 고정되는 즉시 결정될 것이다. 이를 테면,

\[(0.1, 0.6, 0.3)\precsim (0.4, 0.2, 0.4)\]

는

\[(0.2, 0.4, 0.4) \precsim (0.5, 0, 0.5)\]

와 equivalent하다. $u$의 값에 따라 위의 두 inequality가 모두 거짓일 수도, 모두 참일 수도 있다.

이어서 흥미로운 예시를 하나 살펴보자.

Example 17.3 도박을 하려 하는데, 다음 두 가지 방식이 있다. 그 어느 경우에도 돈을 잃지는 않으며, 세금을 내는 등의 다른 영향들은 무시하자.

• 도박1은 $\$500,000$의 보상이 그 즉시 지급된다.
• 도박2는 $\$2,500,000$을 0.10의 probability로, $\$500,000$을 0.89의 probability로, $\$0$을 0.01의 probability로 지급한다.

위의 두 가지 도박 중 어느 것을 선택하겠는가? 또, 위의 두 선택지 대신 아래의 방식 중 하나를 고른다고 하자.

• 도박 3은 $\$500,000$을 0.11의 probability로, $\$0$을 0.89의 probability로 지급한다.
• 도박 4는 $\$2,500,000$을 0.10의 probability로, $\$0$을 0.90의 probability로 지급한다.

그러면 위의 두 가지 도박 중 어느 방식을 선택하겠는가? 이 예시는 Allais(1953)의 논문에서 처음 제시되었으며, Savage(1954)에서 조금 더 논의되었다. 이 실험을 통해 찾을 수 있었던 결과는 사람들은 도박 2보다는 도박 1을, 도박 3보다는 도박 4를 선호한다는 점이었다. 도박 1을 도박 2보다 선호하는 표면적인 이유는 아무래도 $$500,000$도 어차피 꽤 큰 돈이기 때문에 굳이 확률을 걸으면서 아무것도 얻지 못할 확률 0.01까지 얹어가며 더 큰 돈을 얻으려는 시도보다 더 나아보였기 때문이었다. 그리고 도박 4를 도박 3보다 선호했던 이유는 표면적으로 아무것도 얻지 못할 probability가 도박 4에서 아주 조금밖에 크지 않고, 만약 성공 시 도박 4에서 압도적으로 큰 돈을 수령할 수 있기 때문이다.

위의 도박들은 사실 $\$2,500,000$, $\$500,000$, $\$0$, 세 가지 종류의 보상만을 지급한다. 그러므로 Example 17.2의 경우를 이 상황에 적용할 수 있다. 큰 돈을 얻으면 당연히 기분이 좋으니 주어진 utility function이 다음을 만족한다고 하자.

\[U(\$2,500,000) > U(\$500,000) > U(\$0)\]

그러면 도박들을 $P_1 = (0, 1, 0)$, $P_2 = (0.10, 0.89, 0.01)$, $P_3 = (0, 0.11, 0.89)$, $P_4 = (0.10, 0, 0.90)$로 표현할 수 있는데, $P_1$과 $P_2$, $P_3$와 $P_4$는 각 둘의 첫 번째 component끼리의 차가 $0.10$으로 동일하고 각 둘의 두 번째 component끼리의 차가 $0.11$로 동일하다. 그러므로 Example 17.2의 결론에 의하여 도박 1과 도박 2의 preference와 도박 3과 도박 4의 preference는 서로 동일해야 한다.

하지만 실제로 그렇게 도출되지 않았음을 알 수 있다. 이렇듯, 꽤나 많은 현실 상황에서 사람들이 내리는 결정에 정확히 따르는 적절한 utility function이 없을 수도 있다는 것이다. 혹은 조금 더 적절한 결론은 개개인의 utility function은 단지 금전적 욕구(즉, 돈을 많이 받으면 더 기분이 좋을 것이다)에 기반하지 않을 것이라는 점이다. 다시 도박 1과 도박 2의 preference를 비교해보자. 어떤 사람이 도박 2를 선택하고 운이 안 좋게도 $\$0$의 돈을 받았다고 하자. 그러면 $\$0$를 받은 것이 단지 그의 보상이 아니라, 그가 도박 1을 선택했을 때 받을 수 있는 부 $\$500,000$를 얻지 못했음을 알아버린 것 자체도 그의 보상이 될 수 있다는 것이다. 즉, 그는 하필 도박 2를 고르는 바람에 $\$500,000$의 부를 얻을 기회를 놓쳐버렸고, 그것에 대한 죄책감 또한 보상에 고려되어야 한다는 것이다. 이 component가 도박 3과 도박 4 가운데서 선택하는 데에는 큰 영향을 미치진 않겠지만, 도박 1과 도박 2 사이에서의 선호 관계가 위와 같이 나타난 또다른 이유가 될 수 있다.

이를 언급한 이유는 궁극적으로 개개인의 utility function을 고려할 때 이러한 부분들을 잘 따져야 하기 때문이다. Utility function은 단순히 물질적인 것이나 눈에 보이는 것들의 보상에 의해서만 결정되지 않을 수 있다. 이들이 어떤 선택을 하는 과정에서 고려되는 요소들이 굉장히 많고 복잡할 수 있다.

Convex and Concave Utility Functions

우리는 이전에 convex function의 성질들을 몇 개 살펴본 바 있다. Utility function은 convex 혹은 concave의 형태를 가정할 때가 많은데, 뭐든지 과하면 그 증가분 혹은 그 감소분이 감소하기 마련이거나 증가하기 마련이기 때문이고, 때문에 second derivative의 부호를 미리 정한 상태의 함수를 utility로 많이 활용할 수 있다. 이를테면, 맛있는 음식을 먹어서 utility가 꾸준히 증가할지라도, 아무것도 안 먹은 상태에서 한 입 먹었을 때 효용 증가분보다 100입 이미 먹은 상태에서 한 입 먹었을 때의 효용 증가분이 훨씬 작기 마련이다. 우리는 함수 $g: (a, b)\to\mathbb{R}$가 convex하다는 것의 정의를 $\lambda\in (0, 1)$에 대하여 다음 성질을 만족할 때라고 했다.

\[g[\lambda x + (1-\lambda)y] \ge\lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)\]

그리고 위의 식이 나타내는 기하학적 성질은, $g$ 위의 임의의 두 점을 잡아도 이 둘을 이은 직선은 그래프 아래로 절대 떨어지지 않는 다는 것이다. 만약 위의 부등호에서 equality가 없이 strict하게 성립힌다면, 그때의 $g$를 strictly convex라고 표현한다. $g$가 convex면 따르는 아주 유명한 inequality가 있는데 바로 Jensen’s inequality였다. 이는 다음 inequality를 의미한다.

\[Eg(X) \ge g(EX)\]

그리고 $X$가 constant하지 않고 $g$가 strictly convex하다면 위의 관계는 strict inequality로 성립한다.

간단한 예로, interval $(a, b)$ 사이로 금전적으로 주어지는 보상을 고려하고 $R = (a, b)$를 그 보상들의 전체 집합이라고 하자. 그리고 utility function $U$가 $R$ 위에 존재하여 strictly convex하다고 가정하자. Jensen’s inequality에 따라

\[EU(X) \ge U(EX)\]

이므로 $EX$를 바로 주는 도박 방식보다 random한 금전적 보상 $X$를 주는 도박 방식을 선호하게 될 것이다. 그러므로 만약 utility function이 strictly convex하면, 안정적으로 $EX$를 받는 것이 아니고 무조건 random한 도박을 시도하게 될 것이므로 이들을 risk-taker 혹은 risk-lover라고 부른다.

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다음 편에서는 utility function을 정립하기 위한 기본적인 전재 조건 혹은 axiom들을 가정하고 이로부터 파생되는 여러 성질을 이용하여 utility function을 완성해나갈 것이다.